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倒序相加法例題10道
僅供參考。
倒序相加法
例1 計算1+3+5+…+(2n-1).
觀察這一群相加的數(shù), 會發(fā)現(xiàn)兩兩之間的差都是2, 有類似特點的數(shù)字組合有一個特點,
舉例:
如1,3,5,7,9,11
1+11=3+9=5+7=12
也就是前后相應(yīng)位置的數(shù)字的和是相等的.
現(xiàn)在我們就利用這個特點來解決這個問題.
先設(shè):
S=1+3+5+…+(2n-1).
我們把等號右邊的式子的順序再倒過來寫一下:
S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+1.
讓上面兩個式子左右兩邊對應(yīng)位置上的數(shù)分別相加,得:
2S=1+(2n-1)+3+(2n-3)+5+(2n-5)+…+(2n-1)+1.
即:2S=2n+2n+2n+…+2n.
右邊一共有n個2n (怎么計算的?),
∴2S=2n·n=2n2
∴S=n2.
倒敘相加法公式:Sn=n(a1+an)/2)。一個數(shù)列an,與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加,就得到一個常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法。
數(shù)列,是以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù),是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第一項即首項,排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項,以此類推,排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項,通常用an表示
倒序相加法,是解決數(shù)列求和問題的一種經(jīng)典方法,相傳是大數(shù)學(xué)家高斯在幼年時首先使用。人們因此受到啟發(fā),創(chuàng)造了倒序相加法。在等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中,就使用了這種方法。
據(jù)說高斯在9歲時,就發(fā)明了一種快速計算等差數(shù)列求和的小技巧,在很短的時間內(nèi)計算完成了他的小學(xué)老師在黑板上給出的問題,雖然該問題的詳細數(shù)字尚有爭議,但現(xiàn)在普遍認為這個問題是:計算從1到100這100個自然數(shù)之和。高斯所使用的方法是:將第1個數(shù)字與最后1個數(shù)字相加、第2個數(shù)字與倒數(shù)第2個數(shù)字相加……以此類推,可以得到50對101,所以101×50=5050便是答案。
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