(一)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式

在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，則這兩個(gè)點(diǎn)的距離公式為：

AB=a-b=b-a （差的絕對(duì)值）

在數(shù)軸上我們可以通過(guò)這個(gè)距離公式，利用絕對(duì)值來(lái)算點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。反過(guò)來(lái)看，這就是絕對(duì)值的幾何意義(a-b代表點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，a代表點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離)，我們也可以利用這個(gè)幾何意義來(lái)解一些絕對(duì)值方程。

例題1：數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的距離是15，點(diǎn)A表示的數(shù)是5-x，點(diǎn)B代表的數(shù)是5+x，則數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是多少。

根據(jù)距離公式，兩點(diǎn)距離AB = 5+x-(5-x) = 2x = 15

所以x=7.5，即數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是7.5。(注意此處不用解出x的具體值，直接根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義就可以得出答案)

例題2：解方程x=15

根據(jù)x的幾何意義，在數(shù)軸上表示與原點(diǎn)距離是5的點(diǎn)，易知有兩個(gè)點(diǎn)15與-15。所以方程的解是x=15或x=-15。

例題3：解方程x-3=15

根據(jù)x-3的幾何意義，在數(shù)軸上表示與點(diǎn)(3)距離是15的點(diǎn)，易知有兩個(gè)點(diǎn)18與-12。所以方程的解是x=18或x=-12。

(二)數(shù)軸上兩點(diǎn)的中點(diǎn)公式

中點(diǎn)表示的數(shù)值：(a+b)/2

簡(jiǎn)單證明:如圖，設(shè)A>B，P點(diǎn)是AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是x。

則PB的距離是x-b；則PA的距離是a-x；根據(jù)P是中點(diǎn)所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2

當(dāng)A<B時(shí)，也可以得到x=(a+b)/2；A=B時(shí)也成立。所以無(wú)論a，b為何值這個(gè)中點(diǎn)公式都成立，非常方便(不用分情況討論)。

我們還可以把它變形成：a + (b-a)/2

(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2

這個(gè)變形公式可以清晰的看出中點(diǎn)和A點(diǎn)（x與a）的關(guān)系。

還有其它一些變形，例如a+b=2x，a=2x-b等等也是經(jīng)常用到。