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容斥原理的三大公式及推導(dǎo)

時(shí)間:2024-12-14 10:58:00 瀏覽量:

粉筆三者容斥問(wèn)題3個(gè)公式如下:

1、標(biāo)準(zhǔn)型: |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

2、非標(biāo)準(zhǔn)型:|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只滿足兩個(gè)條件的- 2×三個(gè)都滿足的。

3、列方程組:|A∪B∪C | =只滿足一個(gè)條件的+只滿足兩個(gè)條件的+三個(gè)都滿足的。

在計(jì)數(shù)時(shí),必須注意沒(méi)有重復(fù),沒(méi)有遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算,人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法。

這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái),然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去,使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù),這種計(jì)數(shù)的方法稱(chēng)為容斥原理。

容斥原理的定義:

如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類(lèi),那么,A類(lèi)和B類(lèi)和C類(lèi)元素個(gè)數(shù)總和= A類(lèi)元素個(gè)數(shù)+ B類(lèi)元素個(gè)數(shù)+C類(lèi)元素個(gè)數(shù)—既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素個(gè)數(shù)—既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)—既是B類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)+既是A類(lèi)又是B類(lèi)而且是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)。

(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)。

例如:一次期末考試,某班有15人數(shù)學(xué)得滿分,有12人語(yǔ)文得滿分,并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分,那么這個(gè)班至少有一門(mén)得滿分的同學(xué)有多少人?

分析:依題意,被計(jì)數(shù)的事物有語(yǔ)、數(shù)得滿分兩類(lèi),“數(shù)學(xué)得滿分”稱(chēng)為“A類(lèi)元素”,“語(yǔ)文得滿分”稱(chēng)為“B類(lèi)元素”,“語(yǔ)、數(shù)都是滿分”稱(chēng)為“既是A類(lèi)又是B類(lèi)的元素”,“至少有一門(mén)得滿分的同學(xué)”稱(chēng)為“A類(lèi)和B類(lèi)元素個(gè)數(shù)”的總和。為15+12-4=23。

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