來自上海大學一 反證法的概念 二 反證法的邏輯依據(jù)、種類及步驟 （1）反證法邏輯依據(jù) （2）反證法種類 （3）反證法步驟三 中學數(shù)學中宜用反證法的適用范圍 （1）否定性命題 （2）限定式命題 （3）無窮性命題 （4）逆命題 （5）某些存在性命題 （6）全稱肯定性命題 （7）一些不等量命題的證明 （8）基本命題 四 運用反證法應該注意的問題 （1）必須正確否定結論 （2）必須明確推理特點 （3）了解矛盾種類淺談反證法在中學數(shù)學中的應用論文摘要 論文摘要 本文重點闡明反證法的概念,邏輯依據(jù)“矛盾律”和“排中律” , 反證法的種類包括歸謬法簡單歸謬法和窮舉歸謬法, 反證法證明的一 般步驟（反設、歸謬 、結論） ,證題的實踐告訴我們：下面幾種命題 一般用反證法來證比較方便, 否定性命題、 限定式命題、 無窮性命題、 逆命題、 某些存在性命題、 全稱肯定性命題、 一些不等量命題的證明、 基本命題。

運用反證法應該注意的問題,必須正確否定結論、必須明 確推理特點、了解矛盾種類。 關鍵詞: 關鍵詞: 反證法 證明 假設 矛盾 結論有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩,一天,他和 小朋友發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結滿了李子,小朋友一哄而上,去摘,嘗了之后才知 是苦的,獨有王戎沒動,王戎說： “假如李子不苦的話,早被路人摘光了,而這 樹上卻結滿了李子,所以李子一定是苦的。

”這個故事中王戎用了一種特殊的方 法,從反面論述了李子為什么不甜,不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要 討論的反證法。一 反證法的概念反證法是從反面的角度思考問題的證明方法,屬于“間接證明”的一類,即 肯定題設而否定結論,從而導出矛盾,推理而得。

反證法是數(shù)學中常用的間接證明方法之一。 反證法的邏輯基礎是形式邏輯基 本規(guī)律中的排中律。通常反證法是從待證命題的結論的反面入手進行正確推理, 推出矛盾,從而得出原結論的反面不真,由此肯定原結論為真。中學代數(shù)中,一些 起始性命題﹑否定性命題﹑唯一性命題﹑必然性命題﹑結論以 “至多……”“至 或 少……”的形式出現(xiàn)的命題﹑“無限性”的命題﹑一些不等式的證明等用反證法 來證明可收到較好的效果。

假設命題判斷的反面成立,在已知條件和“否定命題判斷”這個新條件下, 通過邏輯推理,得出與公理﹑定理、題設、臨時假定相矛盾的結論或自相矛盾, 從而斷定命題判斷的反面不成立,即證明了命題的結論一定是正確的,當命題由 已知不易直接證明時,改證它的逆命題的證明方法叫反證法。

用框圖表示如下： 題斷反面 前此定理 本題題設 前此公理 前此定義第一用窮舉法不能舉出所有個體的,例如 證明：素數(shù)有無窮多個；無理數(shù)的個數(shù)不比無理數(shù)少等第二用已學的知識不能證明出結論的,例如：如果一個三角形的兩條邊不相等,那么這兩條邊所對的角也不相等。

因為高中數(shù)學內(nèi)容涉及范圍較廣,因此這種情況比較多見。第三用直接證明步驟繁瑣且易出錯的,這種情況多出現(xiàn)在解幾中的圓錐曲線部分反證法定義：證明定理的一種方法,先提出和定理中的結論相反的假定,然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結果來,這樣就否定了原來的假定而肯定了定理。

也叫歸謬法。適用范圍:證明一些命題,且正面證明有困難,情況多或復雜,而否定則比較淺顯具體方法(E。G):命題r=在C下,若A則B反證:若A則￢B證明￢B與A的矛盾舉例：欲證“若P則Q”為真命題,從否定其結論即“非Q”出發(fā),經(jīng)過正確的邏輯推理導出矛盾,從而“非Q”為假,即原命題為真,這樣的證明方法稱為反證法,先提出和定理中的結論相反的假定,然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結果來。

【反證法】 間接論證的一種。先論證與原論題相矛盾的論題即反論題為假,然后根據(jù)排中律確定原論題為真。其論證過程可以表示如下：[求證] A(原論題)[證明] (1)設非A真(非A為反論題) (2)如果非A,則B(B為由非A推出的論斷) (3)非B(已知) (4)所以,并非非A(根據(jù)充分條件假言推理的否定后件式) (5)所以,A(非非A=A)。

例如,語言學工作者論證“語言的聲音和它所表示的事物之間沒有必然聯(lián)系”這一論題時運用反證**證如下：“聲音和詞所表示的事物之間并沒有什么必然的聯(lián)系,并非某一個聲音必然表示某一個對象。聲音和事物的結合假如有什么必然聯(lián)系,世界上所有的語言中表示同一事物的詞的聲音就應當是相同的。

既然世界上表示同一事物的詞的聲音各有不同,可見語言的聲音和所表示的事物之間是沒有必然聯(lián)系的?！边@一段論述的反證過程分析如下： 論題：語言的聲音和所表示的事物之間沒有必 然的聯(lián)系(在開頭提出,最后又做歸結) 反論題：聲音和事物的結合有必然聯(lián)系。

設反論題為真,然后進行推導：“聲音和事物的結合假如有什么必然聯(lián)系,世界上所有的語言中表示同一事物的詞的聲音就應是相同的。”后件顯然不能成立：“世界上表示同一事物的詞的聲音各有不同”。根據(jù)充分條件假言推理的否定式,否定后件就必然否定前件,從而證明反論題“聲音和事物的結合有必然聯(lián)系”是假的。

然后根據(jù)排中律,證明原論題是真的。需要注意的是,反證法是通過先論證反論題假,然后由假推真,確定原論題真。因此反論題與原論題必須是矛盾關系,不能是反對關系。因為反對關系的判斷可以同假,即從一個判斷的假不能必然推出另一判斷的真。 反證法在數(shù)學中經(jīng)常運用。

當論題從正面不容易或不能得到證明時,就需要運用反證法望采納。